№ 6.47
Задание:
Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам x1 = a cos ωt и x2 = a cos 2ωt. Найти максимальную скорость точки.
Решение:
По условию задачи даны законы движения точки
x1 = a cos ωt, x2 = a cos 2ωt
Тогда
x = x1 + x2 = a (cos ωt + cos 2ωt).
Так как
cos 2ωt = cos2ωt − sin2ωt = 2 cos2ωt − 1,
то
x = a (cos ωt + 2 cos2ωt − 1).
Продифференцировав, получим
vx = dx/dt = a (−ω sin ωt − 4ω cos ωt × sin ωt). (1)
Для нахождения максимальной скорости продифференцируем еще раз (1) и приравняем полученную производную к нулю
dv/dt = aω2 cos ωt − 4aω2 cos2ωt + 4aω2 sin2ωt = 0.
или
8 cos2ωt + cos ωt − 4 = 0.
Получили квадратное уравнение относительно cos ωt, решая которое получим
cos ωt = 0,644, а sin ωt = 0,765.
Подставляя в уравнение (1)
vmax = |vxmax| = +aω(0,765 + 4 × 0,765 × 0,644) = + 2,74 aω.
Ответ: vmax = 2,74 aω.