№ 6.47

---

Задание:

Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам x₁ = a cos ωt и x₂ = a cos 2ωt. Найти максимальную скорость точки.

Решение:

По условию задачи даны законы движения точки

x₁ = a cos ωt, x₂ = a cos 2ωt

Тогда

x = x₁ + x₂ = a (cos ωt + cos 2ωt).

Так как

cos 2ωt = cos²ωt − sin²ωt = 2 cos²ωt − 1,

то

x = a (cos ωt + 2 cos²ωt − 1).

Продифференцировав, получим

v_x = dx/dt = a (−ω sin ωt − 4ω cos ωt × sin ωt). (1)

Для нахождения максимальной скорости продифференцируем еще раз (1) и приравняем полученную производную к нулю

dv/dt = aω² cos ωt − 4aω² cos²ωt + 4aω² sin²ωt = 0.

или

8 cos²ωt + cos ωt − 4 = 0.

Получили квадратное уравнение относительно cos ωt, решая которое получим

cos ωt = 0,644, а sin ωt = 0,765.

Подставляя в уравнение (1)

v_max = |v_xmax| = +aω(0,765 + 4 × 0,765 × 0,644) = + 2,74 aω.

Ответ: v_max = 2,74 aω.